ВЕРТОЛЕТ КАК ОБЪЕКТ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Динамика вертолета

При выводе уравнений движения в основном преследовалась за­дача: дать наиболее простую, а следовательно, и физически понятную картину динамики вертолета. В целях большей наглядности уравнения движения и соответствующие им передаточные функции даны в макси­мально упрощенном виде [33]. Следует отметить, что несмотря на суще­ственное упрощение анализа, не удалось обойтись без использования элементарного аппарата теории автоматического регулирования (чита­телям, не знакомым с этим аппаратом, рекомендуется предварительно прочесть любую книгу с изложением основ теории регулирования, на­пример, [16]).

Вертолет как динамическая система имеет весьма большое число степеней свободы. Так, если свободное тело при движении в простран­стве обладает шестью степенями свободы, то движение вертолета допол­нительно определяется вращением несущего (и хвостового) винта отно­сительно фюзеляжа и, в случае шарнирно подвешенных лопастей, дви­жением каждой лопасти относительно каждого из ее шарниров. Возь­мем к примеру, вертолет, имеющий трехлопастный несущий винт с ло­пастями, подвешенными на горизонтальных и вертикальных шарнирах и трехлопастный хвостовой винт с лопастями, подвешенными на «гори­зонтальных» шарнирах. Количество степеней свободы у этого вертолета составляет 6+1+3-2 + 3=16. Для дальнейшего уточнения нужно было бы учесть упругость лопастей несущего и хвостового винтов и упругость фюзеляжа, однако, практически, при рассмотрении динамики вертолета можно пренебречь многими факторами.

При выводе уравнений движения мы будем учитывать лишь неко­торые свойства несущего винта, отмеченные в гл. I, являющиеся наибо­лее существенными для анализа динамики вертолета (отметим, что эти свойства были изложены в упрощенном виде).

Рассмотрим продольное движение вертолета на режиме висения в системе координат, связанных с землей (рис. 5.2), в безветрие. Будем

Рис. 5.2. Силы, действующие на вертолет на режиме висе­ния

полагать, что центр тяжести вертолета лежит на оси несущего винта. Будем учитывать только угловое перемещение вертолета относительно оси 2 и линейное перемещение его вдоль оси х. Будем далее считать, что обороты несущего винта автоматически поддерживаются постоянными, а высоту полета, нулевой крен вертолета и неизменный его курс с не­большими отклонениями сохраняет летчик, вмешиваясь в соответствую­щие каналы управления.

При перечисленных выше условиях уравнение моментов относи­тельно поперечной оси вертолета будет иметь вид

1гЪ=Туъаи (5.1)

а уравнение сил, действующих вдоль оси х.

^-Vx=-T(b+ai). (5.2)

Равновесие сил, действующих вдоль вертикальной оси, рассматри­вать не будем, приняв обычное в аэродинамике вертолета допуще­ние Т ял G.

Составим далее уравнения для малых отклонений вертолета на ре­жиме висения. Для этого примем:

d = do+Ad; аі = аІ0 + Даі; Vx 6Z = 6- c + Д6г, (5.3)

где do, <2i0, VXoи постоянные величины, определяемые балансиров­

кой вертолета.

Подставив уравнения (5.3) в (5.1) и (5.2), получим:

I2M = Tya(au+Aai)- (5.4)

-^-Д1/,= -7′(&0 + д»-Ьа, оД-да1), (5.5)

откуда следуют уравнения статики:

alo=0; flo = 0. (5.6)

Таким образом, относительно малых отклонений уравнения движе­ния вертолета имеют вид 1г&Ъ = Ту3&а1, —bVx = — Т (Д& + ДаД

Напишем далее уравнение, определяющее зависимость продольного наклона равнодействующей силы несущего винта аі от поступательной скорости вертолета Vx, угловой скорости тангажа az и от продольного отклонения управления 6Z (в малых отклонениях), ka1 = Aa1Vx -f-

—Даішг+ Лаі5г-

Выражения для дclWx, Даіш2 и Да. і5г запишем в виде:

baxv х = ах hV х, даіШг=а"гД&, Даі82= —D^bz.

Здесь af* =-^———— производная угла отклонения оси конуса лопастей

dVx по скорости полета;

аГг=-^—производная угла отклонения оси конуса лопастей ПО угловой скорости поворота ОСИ несущего BHHT3J —производная угла отклонения оси конуса лопастей по отклонению кольца автомата перекоса.

После подстановки будем иметь:

/гд&= Ty0a**LVx — Ь Туааї*Ь&-ТуРфЬя (5. 8)

— tS/ х— — ГД& — ТахьУх — Та1*Ь$ + TD^bz. (5.9)

g

Пренебрегая членами и Г^дЗ. ввиду их практически ничтожного влияния на динамику вертолета, перепишем уравнения (5.8) и (5.9): /,діі= Ж^Д’/ф-г Л*"«Д& + .М**Д8,; (5.10) SL. bVx=.)?bb—xv4Vx. 0 * (5.11) Здесь MVZX = Туъа[х Mr = Гу3аі2; Mzz= — Tyfin Хь= —T;

Отсюда найдем передаточную функцию от отклонения кольца автомата перекоса к углу тангажа вертолета:

Д9________________ Mh/(s-XV*)_______________

дв* дЗ_ {xV*+ M°zz)s2+ XVxMzzsi-gM^x’

Ввиду малости величины Xvx ею часто пренебрегают. Тогда переда­точная функция, характеризующая, вертолет как объект регулирования, примет вид

да лдЧ

——————— =лГ — (о. 1о)

Аог $3—Mzzst+gM *

Коэффициенты передаточной функции (5.15) определяются по сле­дующим формулам* (k — коэффициент компенсатора взмаха):

f-axx — 12) Мгг — — ~y-Dx 13) X x=-ga[x. * z [34] z

7) a>j = l,84—; 8) а

Проанализируем динамику продольного движения вертолета на висении, пользуясь выражением (5.15). Прежде всего получим харак­теристическое уравнение системы, приравняв нулю знаменатель переда­точной функции, s3 — AlzZS2—gMz* — 0. Это кубическое уравнение для встречающихся величин параметров вертолетов имеет один отрицатель­ный действительный корень и два комплексных корня с положительной вещественной частью — <о15 s2,3 = -|-С«>о± Jwo V 1 — С2.

Рассмотрим реакцию вертолета на ступенчатое отклонение управ­ления. В течение первых нескольких секунд после такого воздействия скорость вертолета практически не меняется. Если принять такое допу­щение, передаточная функция (5.15) упростится до такой:

да _ мгг

ДВ. г 5 (s — Mzz)

Для этого случая движение вертолета — апериодический подход к постоянной угловой скорости [35]. Выясним влияние параметров пере­даточной функции — относительной эффективности управления и отнб — сительного демпфирования — на реакцию вертолета. Для этого приве-

/к its да mzz/mzz

дем уравнение (5.16) к нормированному виду —= —

S+ 1

Апериодическая составляющая будет характеризоваться той времени, равной > и коэффициентом усиления,

ш,

МІ’ІЛІЇ (эта величина в гл. I была определена как чувствитель­ность управления).

q—увеличение эффективности при постоянном демпфировании; б—увеличено демпфирова-
ния при постоянной эффективности; в—одновременное увеличение демпфирования и эф-
фективности

Изменение характера апериодической составляющей переходного процесса при изменениях относительных величин демпфирования и эф­фективности управления наглядно иллюстрируется на рис. 5. 3 [57].

Для рассмотрения колебательной составляющей реакции вертолета необходимо вернуться к передаточной функции вида (5.14).

а—низкое демпфирование; б—высокое демпфирование; в—низкая устойчивость по скорости;

г—высокая устойчивость по скорости

Полная реакция вертолета представляет собой сумму апериодиче­ской и колебательной составляющих. Отмеченные выше характеристики апериодической составляющей практически не изменяются при учете дополнительной степени свободы.

— ш у

Изменения параметровМгг и Мгх по отдельности или обоих вместе значительно влияют на период и демпфирование неустойчивых коле­баний.

Типичные реакции угловой скорости тангажа на ступенчатое откло-

8

нение управления для постоянной эффективности управления М/ пока­заны на рис. 5.4 [57].

Начальная реакция вертолета, как уже было сказано, определяется апериодической составляющей, которая зависит в основном от эффек­тивности управления и демпфирования. Колебательная составляющая, определяемая в основном демпфированием и устойчивостью по скоро­сти, не успевает «проявить себя» при пилотировании. Однако пара­метры зависимости моментов и сил от скорости полета оказываются важными для управляемости вертолета, так как они имеют значение в «передаче» атмосферных возмущений на вертолет.

Интересно рассмотреть частотные характеристики вертолета в про­дольном движении. Для этого обратимся к наиболее полному виду пере­даточной функции (5.14):

дв________ mIz(s-XV[36])__________

А6г &—(xV*+M[37])s2+XV*A%*s+gMzX ‘

Ее можно переписать в виде

да _ — k (t2s + і)________

ДВг~~ „ /1 2 с

(?V+ 1)(—s2_—s+i

1 «0 («о

—- 8 —V 2 V 1

В этом случае k0= — М/, o)2= — X x; M1ui0=gMzxu>1 = —.

T i

На рис. 5.5 и 5.6 приведены логарифмические амплитудные* и фазовые частотные характеристики по тангажу для режима висения. Как и для всякой неустойчивой системы эти характеристики, строго го­воря, не имеют физического смысла, так как, если на вход (отклонение кольца автомата перекоса) подавать синусоидальное воздействие, то на выходе (угол тангажа) не получится устойчивых гармонических колеба­ний; на них наложится неустойчивый переходных процесс, в результате которого вертолет уйдет с установившегося режима.

Однако, если вертолет слегка неустойчив, то его колебания расхо­дятся не очень быстро, и если вынужденные колебания — высокочастот­ные, то частотная характеристика в области высоких частот может быть получена в летных испытаниях наиболее простым методом — методом вынужденных колебаний. Практически нижней границей частот для та­ких испытаний является 0,4—0,5 радісек.

Частотные характеристики,, соответствующие точной функции, без учета влияния скорости:

А» _

нанесены на рис. 5. 5 и 5. 6 пунктирными линиями. Этот пример ясно ука­зывает пределы применимости упрощенной передаточной функции.

Из графиков видно, что амплитудные и фазовые логарифмические характеристики для точной и упрощенной передаточных функций прак­тически совпадают (с точностью ^5° по фазе и 1—5 дб по амплитуде) начиная от частот ~1 рад)сек (0,16 гц). В области низких частот точная
и упрощенная характеристики имеют совершенно различный вид. Это обстоятельство указывает на то, что влияние производных сил и момен­тов по скорости полета существенно лишь в области очень низких частот.

На рис. 5.7 в качестве примера дано сравнение расчетных частотных характеристик с полученными в летных испытаниях. Экспериментальное определение частотных характеристик проводилось на режиме полета с поступательной скоростью, где вертолет несколько менее неустойчив, чем на режиме висения.

100 то 180

-220

— Из эксперимента. V= 145 км (час

жения

V 0,2 0,4 0,6 0fi1fi ceK км/час

Рис. 5.7. Частотные характеристики вертолета Рис. 5.8. Силы, действующие на

вертолет на режиме висения

Аналогично рассмотренному движению тангажа рассмотрим дви­жение крена одновинтового вертолета на режиме висения (рис. 5.8).

Повторяя рассуждения, приведенные выше, можно найти переда­точную функцию от отклонения кольца автомата перекоса к углу крена вертолета:

&у М Iх(s— ZVz) 4 ьх ss_(z 1Ч Ж/) «з +

Если пренебречь величиной ZVz, то передаточная функция будет ду MXXS

иметь вид — = ———— ———- —гг , т. е. совершенно аналогичный слу-

АЬх s*—Mxxsi—gMxz

чаю тангажа (здесь Nvxz <0).

Коэффициенты передаточной функции вертолета по крену для слу­чая висения рассчитываются с использованием формул, приведенных на стр. 196, и соответствующей заменой в них параметров продольного движения на параметры бокового движения.

Частотные характеристики движения крена, построенные для передаточной функ­ции вида (5. 18), похожи на частотные характеристики движения тангажа. Разница за­ключается в том, что для крена имеют место более высокие значения <о0 и вц и более низкие значения £. Иными словами, вертолет в управлении по крену представляет со­бой менее инертный и менее демпфированный объект, чем в управлении по тангажу.

Подобно тому, как это было сделано для тангажа, на рис. 5. 9 и 5. 10 вместе с ча­стотными характеристиками, соответствующими более точной передаточной функции вида (5. 18), нанесены частотные характеристики, соответствующие виду (5. 17). Как и в предыдущем случае, они совпадают только в области высоких частот начиная от 1,5 рад/сек (0,24 гц) и выше. *

Рассмотрение частотных характеристик движений тангажа и крена вертолета показывает, что при анализе динамики вертолета с автопило­том, где наиболее существенным будет поведение системы в области еысоких частот (1 рад/сек и выше), вертолет по упомянутым каналам

довольно точно описывается передаточной функцией вида ———t <■

Рис. 5. 9. Частотные характеристики вертолета Ми-8 по крену на режиме висения

Для характеристики полосы существенных частот вертолета в про­дольном и поперечном управлении, следуя [23], введем условное понятие частоты среза сос, определив ее как такую частоту, при которой ампли­туда отклонения угла тангажа или крена становится равной амплитуде отклонения равнодействующей силы несущего винта. На частотных ха-

Рис. 5. 10. Частотные характеристики вертолета Ми-10 по крену на режиме ви- сения

рактеристиках (рис. 5. 5, 5. 6, 5. 9 и 5. 10) эта частота определится как пересечение амплитудной характеристики с горизонтальной прямой, поднятой над осью абсцисс на величину Dx — отношение отклонения

равнодействующей к отклонению кольца автомата перекоса, выражен­ную в дб (если > 1).

Из графиков видно, что частота среза для вертолетов по тангажу составляет 1,5—2,3 1/сек (0,24—0,37 гц) и по крену 3,6-4,3 I/сек (0,57—0,68 гц), причем большие цифры относятся к более легкому вертолету. ‘

Перейдем к рассмотрению движения рысканья вертолета на режиме висения. Будем иметь в виду те же допущения, что мы принимали и ра­нее, при выводе уравнений продольного движения.

Введем обозначения:

Рассматривая моменты, действующие на несущий винт и на фюзе­ляж вертолета, напишем следующие уравнения движения:

^НВ(в==’/^дв— Жк;

Iyif=MK Жхв.

Откуда в приращениях:

/нвДсо=ДЛ4дв-ДЛ1к; 1уДф=ДМдв — ДУИХВ.

5 ..

Приняв далее, что ДЛ7дв=Л4д"д8дв, дл=Да>„,

= Mlf + ЛСд® и ДУИХВ = М9™ Дсрхв + М°£ До),, получим /нвДш + УИк Дш= 7И^В8ДВ— УК^Дср,

/,До>, 4- Ж^До,, = Ж[38] Дер + М” До) — УИ^ВДсрхв.

Полученные уравнения описывают связанные между собой на одно­винтовом вертолете движение рысканья и динамику оборотов винта. Дадим формулы для определения производных моментов*:

находится производная ст[39]); 2) с?=

1 П Q ^’7 4>э 1+0-85Тст

1) <рэ=0,586 —+0,8 ]/ст — 0,021 (по этой зависимости графически

6) =0,313ахв.^о_; 7) 8) ЖЙ = 7’^„;

9) срэхв = 0,586 + 0,8 V+хв~0,021 (по этой зависимости графи­

ке

.’’эХВ

‘ТХВ

И) 7’хвВ=:=-у-Стхве((*)хв/?хв)2я/?|в; 12) Mxb=TtxbLxb.

Величина находится по характеристикам двигателя; A4“ —2Мк/ш.

Рассмотрим уравнение движения рысканья вертолета на установив­шемся режиме полета, пренебрегая изменением оборотов несущего винта

/ у!ыу — •MXgA(0if=./WXgBAtpXB

или в относительных величинах — УИхвД^ = ^хв Д? хв-

Передаточная функция вертолета от управления шагом хвостового

А! М9ХВ

. А ш хв

винта к углу рысканья будет иметь вид — г-— = -7——— •

* ХВ

«■ т — (ру у» — -" СО

В табл. 5. 1 даны величины коэффициентов Мх* и Мх^ для неко­

торых отечественных вертолетов.

Таблица 5. 1 Вертолет 1 — О).. 1 Л/Т У — М Y R —- “ хв СЄКЇ — Мм у сек Ми-1 8,72 0,369 Ми-4 6,72 0,314 Ми-8 6,62 0,258 Ми-б 2,21 0,114 Ми-10 2,72 0,173

На рис. 5.11 приведены логарифмические частотные характеристики движения рысканья на режиме висения для вертолетов Ми-8 и Ми-10. Здесь так же, как и для тангажа и крена, полезно ввести понятие ча­стоты среза, определив ее как такую частоту, при которой амплитуда отклонения угла рысканья становится равной амплитуде отклонения шага хвостового винта. Как видно, частоты среза для вертолетов Ми-8 и Ми-10 по каналу рысканья составляют соответственно 0,61 и 1,3 рад/сек (0,1 и 0,2 гц) .

Рассмотрим, наконец, управление вертикальным перемещением вер­толета на режиме висения. При этом будем руководствоваться приня-

тыми ранее допущениями и, кроме того, будем рассматривать движение вертолета только в направлении земной оси у.

Уравнение сил, действующих на вертолет вдоль вертикальной оси,

имеет вид — Vу-.— Т — G; здесь Уу — вертикальная скорость вертолета

Для определения величин Ту и Tvy можно воспользоваться форму­лами на стр. 158, при этом параметры хвостового винта, обозначенные индексом ХВ, следует заменить параметрами несущего винта.

__ J’tp _ у ‘р Vу

Введем относительные параметры Т9 =—, Т у———- .

G G

Тогда уравнение преобразуется к виду &Vy=gT9y—gTVybVy.

Передаточная функция от отклонения общего шага несущего винта

о AV// рТ9

к вертикальной скорости вертолета будет ————■ .

" ДсР s — gT у

Типовые значения параметров передаточной функции, вычисленные для вертолета Ми-4, составляют gT9~ 47,6м) сек2 и gTvv=—0,196 1 jcex;. Соответствующие частотные характеристики приведены на рис. 5. 12.

Так же, как и в других каналах, определим для этого канала ча­стоту среза, приняв за ее значение такую частоту, при которой ампли­туда колебаний вертикальной скорости составляет 5% от амплитуды при нулевой частоте, или, иными словами, ту частоту, усиление для ко­торой падает на 26 дб относительно нулевой частоты. Из рис. 5. 12 видно, что эта частота составляет 5,8 /сек (0,9 гц).

Необходимо отметить, что частоты среза, определенные выше для каждого из каналов управления, есть понятия весьма условные и могут использоваться лишь для сравнения динамики различных вертолетов по одинаковым каналам, но не для сравнения между собой динамики различных каналов вертолета. В отношении существенной полосы частот нужно сказать, что она для вертолетов имеет тот же порядок, что* и для самолетов, т. е. не превышает 1 —1,5 гц.

Как уже было сказано ранее, динамика вертолета при переходе от режима висения к режиму полета с поступательной скоростью меняется несущественно.

Характерной особенностью режимов полета вертолета с поступа­тельной скоростью, на которой стоит остановиться, является связь между движениями крена и рысканья такая же, как и имеющая место на самолетах [9, 22, 56].

Разберем физическую сущность связи движений крена и рысканья. В поступательном полете, как и на режиме висения, изменение крена сопровождается появлением боковой скорости вертолета Vz. И если на висении эта скорость создавала только моменты крена (через производ­ную Mvxz), то в поступательном полете при наличии большой скорости,

Рис. 5. 13. Структурные схемы бокового движения вертолета на режимах висения (а) и полета с поступательной скоростью (б): 1—динамика крена и поступательного перемещения вдоль оси 2; 2—динамика ры^ сканья; 3—динамика крена

направленной вдоль продольной оси вертолета, появление боковой ско­рости вызывает изменение угла между вектором полной воздушной ско­рости и продольной плоскостью вертолета —-угла скольжения. Изменение угла скольжения приводит к появлению моментов как по крену, так и по рысканью. В то же время движение рысканья уже непосредственно со­провождается появлением угла скольжения. Кроме того, к боковой силе добавляется инерционная центробежная сила, возникающая при искрив­лении горизонтальной траектории полета вертолета (рис. 5.13).

Указанная взаимосвязь приводит к тому, что боковое движение вер­толета на режиме поступательного полета (с достаточно большой ско­ростью) в большинстве случаев колебательно устойчиво вследствие ста­билизирующего влияния производных М? х и Ml. Эта взаимосвязь про­является в основном в области очень низких частот[40] и поэтому мы в дальнейшем при анализе работы каналов крена и рысканья автопилота учитывать ее не будем.